数列极限
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主条目：数列极限
以数列
a
n
=
1
n
{\displaystyle a_{n}={\frac {1}{n}}}
为例，直觀上随着n的增大，
a
n
{\displaystyle a_{n}}
越来越接近0，于是可以认为0是这个序列的“极限”。以下的嚴格定義來自於柯西：
设
{
a
n
∈
R
}
n
∈
N
{\displaystyle \{a_{n}\in \mathbb {R} \}_{n\in \mathbb {N} }}
，若對任意
ϵ
>
0
{\displaystyle \epsilon >0}
，存在
m
∈
N
{\displaystyle m\in \mathbb {N} }
，使得当
n
>
m
{\displaystyle n>m}
时，有
|
a
n
−
a
|
<
ϵ
{\displaystyle |a_{n}-a|<\epsilon }
以邏輯符号来表示即為
(
∀
ϵ
>
0
)
(
∃
m
∈
N
)
(
∀
n
∈
N
)
[
(
n
>
m
)
⇒
(
|
a
n
−
a
|
<
ϵ
)
]
{\displaystyle (\forall \epsilon >0)(\exists m\in \mathbb {N} )(\forall n\in \mathbb {N} )[\,(n>m)\Rightarrow (|a_{n}-a|<\epsilon )\,]}
则称数列
{
a
n
}
n
∈
N
{\displaystyle \{a_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}
收敛于
a
{\displaystyle a}
，记作
lim
n
→
∞
a
n
=
a
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=a}
或
a
n
→
a
{\displaystyle a_{n}\rightarrow a}
。這時也稱這個數列是收斂的，反之稱為發散。可以證明極限是唯一的，也就是
[
(
a
n
→
a
)
∧
(
a
n
→
a
′
)
]
⇒
(
a
=
a
′
)
{\displaystyle [\,(a_{n}\to a)\wedge (a_{n}\to a^{\prime })\,]\Rightarrow (a=a^{\prime })}
直觀地说，不論把“差距範圍”
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
取得多小，從某項往后
a
n
{\displaystyle a_{n}}
跟
a
{\displaystyle a}
的距離都會比
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
小。
函数极限
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主条目：函數極限
考慮定義域為
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
，對應規則為
f
(
x
)
=
x
x
2
+
1
{\displaystyle f(x)={\frac {x}{x^{2}+1}}}
的函數在
x
{\displaystyle x}
趋向
2
{\displaystyle 2}
的时候的性质。此時
f
{\displaystyle f}
於
2
{\displaystyle 2}
是有定义的。
f(1.9)
f(1.899)
f(1.999)
f(2)
f(2.001)
f(2.01)
f(2.1)
0.4121
0.4012
0.4001
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
0.4
⇐
{\displaystyle \Leftarrow }
0.3998
0.3988
0.3882
当
x
{\displaystyle x}
趋向
2
{\displaystyle 2}
的时候，函数值似乎趋向
0.4
{\displaystyle 0.4}
，因此我们有“极限”
0.4
{\displaystyle 0.4}
，正好就是
f
(
2
)
{\displaystyle f(2)}
，這種情況我們稱為在
x
=
2
{\displaystyle x=2}
“連續”。
但有時趨近的“極限”不會是那個函數值，考虑定義域為
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
，對應規則為
g
(
x
)
=
{
x
x
2
+
1
,
x
≠
2
0
,
x
=
2
{\displaystyle g(x)={\begin{cases}{\dfrac {x}{x^{2}+1}},&x\neq 2\\0,&x=2\end{cases}}}
的函數，那么当
x
{\displaystyle x}
趋于
2
{\displaystyle 2}
的时候，
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
的极限似乎与前面的
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
相同都是
0.4
{\displaystyle 0.4}
。但
g
(
2
)
≠
0.4
{\displaystyle g(2)\neq 0.4}
，这就是说，
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
在
x
=
2
{\displaystyle x=2}
不连续。
有時趨近的點甚至不在定義域裡（也就是無定義），考慮到算式（本質上是一階邏輯中的項，所以下面以冒號來代表符號辨識上的定義，而非“數字”意義上的相等）
T
:
x
−
1
x
−
1
{\displaystyle T:{\frac {x-1}{{\sqrt {x}}-1}}}
当
x
=
1
{\displaystyle x=1}
时，算式
T
{\displaystyle T}
等於零除以零而没有定义。但以
T
{\displaystyle T}
有定義的最大定義域
R
−
{
1
}
{\displaystyle \mathbb {R} -\{1\}}
（去除
1
{\displaystyle 1}
的實數系）， 跟對應規則
f
(
x
)
=
T
{\displaystyle f(x)=T}
來定義的函數
f
{\displaystyle f}
， 趨近於
1
{\displaystyle 1}
的“极限”似乎是
2
{\displaystyle 2}
f(0.9)
f(0.99)
f(0.999)
f(1.0)
f(1.001)
f(1.01)
f(1.1)
1.95
1.99
1.999
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
未定义
⇐
{\displaystyle \Leftarrow }
2.001
2.010
2.10
实函数在有限处的极限
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若
f
{\displaystyle f}
是一个实函数（也就是定义域和值域都包含於實數系），
L
∈
R
{\displaystyle L\in \mathbb {R} }
，那么
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
L
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L}
用ε-δ語言定義為：對所有的
ε
>
0
{\displaystyle \varepsilon \ >0}
，都存在
δ
>
0
{\displaystyle \delta \ >0}
使得：對任意
x
∈
D
f
{\displaystyle x\in D_{f}}
满足
0
<
|
x
−
c
|
<
δ
{\displaystyle 0<|x-c|<\delta \ }
时會有
|
f
(
x
)
−
L
|
<
ε
{\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon \ }
。以邏輯符号来表示即為
(
∀
ϵ
>
0
)
(
∃
δ
>
0
)
(
∀
x
∈
D
f
)
[
(
0
<
|
x
−
c
|
<
δ
)
⇒
(
|
f
(
x
)
−
L
|
<
ϵ
)
]
{\displaystyle (\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in D_{f})[\,(0<|x-c|<\delta )\Rightarrow (|f(x)-L|<\epsilon )\,]}
实函数在无穷远处的极限
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与函数趋于某个给定值时的极限概念相关的是函数在无穷远处的概念。这个概念不能从字面上直接理解为：
x
{\displaystyle x}
距离无穷远越来越小的状态，因为无穷不是一个给定的数，也不能比较距离无穷的远近。因此，我们用
x
{\displaystyle x}
越来越大（当讨论正无穷时）来替代。
例如考虑
f
(
x
)
=
2
x
x
+
1
{\displaystyle f(x)={\frac {2x}{x+1}}}
.
f
(
100
)
=
1.9802
{\displaystyle f(100)=1.9802}
f
(
1000
)
=
1.9980
{\displaystyle f(1000)=1.9980}
f
(
10000
)
=
1.9998
{\displaystyle f(10000)=1.9998}
当
x
{\displaystyle x}
非常大的时候，
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
的值会趋于
2
{\displaystyle 2}
。事实上，
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
与
2
{\displaystyle 2}
之间的距离可以变得任意小，只要我们选取一个足够大的
x
{\displaystyle x}
就可以了。此时，我们称
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
趋向于（正）无穷时的极限是
2
{\displaystyle 2}
。可以写为
lim
x
→
∞
f
(
x
)
=
2
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=2}
形式上，我们可以定义：
lim
x
→
∞
f
(
x
)
=
L
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=L}
為
(
∀
ϵ
>
0
)
(
∃
δ
>
0
)
(
∀
x
∈
D
f
)
[
(
δ
<
x
)
⇒
(
|
f
(
x
)
−
L
|
<
ϵ
)
]
{\displaystyle (\forall \epsilon >0)(\exists \delta >0)(\forall x\in D_{f})[\,(\delta 类似地，我们也可以定义： lim x → − ∞ f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=L} 為 ( ∀ ϵ > 0 ) ( ∃ δ < 0 ) ( ∀ x ∈ D f ) [ ( x < δ ) ⇒ ( | f ( x ) − L | < ϵ ) ] {\displaystyle (\forall \epsilon >0)(\exists \delta <0)(\forall x\in D_{f})[\,(x<\delta )\Rightarrow (|f(x)-L|<\epsilon )\,]}