我们来证明
f
{\displaystyle f}
的上界和存在最大值。把这个结果应用于函数
−
f
{\displaystyle -f}
，也可推出
f
{\displaystyle f}
的下界和存在最小值。
我们首先证明有界性定理，它是证明极值定理中的一个步骤。
有界性定理的证明
编辑
假设函数
f
{\displaystyle f}
在区间
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
内連續且没有上界，那么对于每一个自然数
n
{\displaystyle n}
，都存在
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
内的一个
x
n
{\displaystyle x_{n}}
，使得
f
(
x
n
)
>
n
{\displaystyle f(x_{n})>n}
（任定的，總之條件為真即可）。这便定义了一个序列
{
x
n
}
{\displaystyle \{x_{n}\}}
。
由于
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
是有界的，根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理，可推出存在
{
x
n
}
{\displaystyle \{x_{n}\}}
的一个收敛的子序列
{
x
n
k
}
{\displaystyle \{x_{n_{k}}\}}
。把它的极限记为
x
{\displaystyle x}
。由于
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
是闭区间，它一定含有
x
{\displaystyle x}
。因为
f
{\displaystyle f}
在
x
{\displaystyle x}
处连续，我们知道
{
f
(
x
n
k
)
}
{\displaystyle \{f(x_{n_{k}})\}}
收敛于实数
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
。
但对于所有的
k
{\displaystyle k}
，都有
f
(
x
n
k
)
>
n
k
≥
k
{\displaystyle f(x_{n_{k}})>n_{k}\geq k}
，这意味着
{
f
(
x
n
k
)
}
{\displaystyle \{f(x_{n_{k}})\}}
发散于无穷大。
前者描述為收斂，後者描述為無窮大，得出矛盾。因此，
f
{\displaystyle f}
在
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
内有上界。同理
f
{\displaystyle f}
在
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
内有下界。证毕。
极值定理的证明1
编辑
基本步骤为：
寻找一个序列，它的像收敛于
f
{\displaystyle f}
的最小上界。
证明存在一个子序列，它收敛于定义域内的一个点。
用连续性来证明子序列的像收敛于最小上界。
我们现在证明函数
f
{\displaystyle f}
在区间
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
内有最大值。根据有界性定理，
f
{\displaystyle f}
有上界，因此，根据实数的戴德金完备性，
f
{\displaystyle f}
的最小上界
M
{\displaystyle M}
存在。我们需要寻找
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
内的一个
d
{\displaystyle d}
，使得
M
=
f
(
d
)
{\displaystyle M=f(d)}
。设
n
{\displaystyle n}
为一个自然数。由于
M
{\displaystyle M}
是最小上界，
M
−
1
n
{\displaystyle M-{\frac {1}{n}}}
就不是
f
{\displaystyle f}
的上界。因此，存在
[
a
,
b
]
{\displaystyle [a,b]}
内的
d
n
{\displaystyle d_{n}}
，使得
M
−
1
n
<
f
(
d
n
)
{\displaystyle M-{\frac {1}{n}} 。这便定义了一个序列 { d n } {\displaystyle \{d_{n}\}} 。由于 M {\displaystyle M} 是 f {\displaystyle f} 的一个上界，即便是对于所有的 n {\displaystyle n} ，我们仍有 M − 1 n < f ( d n ) ≤ M {\displaystyle M-{\frac {1}{n}} 。因此，序列 { f ( d n ) } {\displaystyle \{f(d_{n})\}} 收敛于M。 根据波尔查诺-魏尔施特拉斯定理，可知存在一个子序列 { d n k } {\displaystyle \{d_{n_{k}}\}} ，它收敛于某个 d {\displaystyle d} ，且由于 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 是闭区间， d ∈ [ a , b ] {\displaystyle d\in [a,b]} 。因为 f {\displaystyle f} 在 d {\displaystyle d} 处连续，所以序列 { f ( d n k ) } {\displaystyle \{f(d_{n_{k}})\}} 收敛于 f ( d ) {\displaystyle f(d)} 。但 { f ( d n k ) } {\displaystyle \{f(d_{n_{k}})\}} 是 { f ( d n ) } {\displaystyle \{f(d_{n})\}} 的一个子序列，收敛于 M {\displaystyle M} ，因此 M = f ( d ) {\displaystyle M=f(d)} 。所以， f {\displaystyle f} 在 d {\displaystyle d} 处取得最小上界 M {\displaystyle M} 。证毕。 极值定理的证明2 编辑 [2] 设 M {\displaystyle M} 是 f {\displaystyle f} 在区间 [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} 上的最小上界，我们要证明存在 d ∈ [ a , b ] {\displaystyle d\in [a,b]} 使得 f ( d ) = M {\displaystyle f(d)=M} 。我们使用反证法：如若不然，对任意 x ∈ [ a , b ] {\displaystyle x\in [a,b]} ， f ( x ) ≠ M {\displaystyle f(x)\neq M} ，所以，对任意的 x ∈ [ a , b ] {\displaystyle x\in [a,b]} ， f ( x ) < M {\displaystyle f(x) 。我们考虑正值的函数 g ( x ) = 1 M − f ( x ) . {\displaystyle g(x)={\frac {1}{M-f(x)}}.} 因为分母不是零，这个函数是良定义的，并且是连续的。然而，由于 M {\displaystyle M} 是 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 的最小上界，所以存在 x ∈ [ a , b ] {\displaystyle x\in [a,b]} ，使得 f ( x ) {\displaystyle f(x)} 可以无限地接近 M {\displaystyle M} ，从而 g ( x ) {\displaystyle g(x)} 是无界的。这和有界性定理矛盾。证毕。 注: 上面构造函数 g ( x ) {\displaystyle g(x)} 来证明最大值能在某个 d {\displaystyle d} 取到的方法也在代数基本定理的基于Liouville定理的证明中出现。