2.1 矩阵与矩阵的运算 中讲述了矩阵的乘法.
例子 快速计算矩阵的幂
下面给出矩阵相似的定义.
定义 2.1. 矩阵相似等价
定义 2.1. 矩阵相似等价
设 A,B 都是 n 阶矩阵,若存在可逆矩阵 P , 使得
B=P−1AP
则称 A 相似于 B ,记为 A∼B .
验证相似为等价关系
相似关系是矩阵之间的一种关系, 有如下三个性质.
(1) 反身性: A∼A .
在定义中取 P=E ,即有 A=E−1AE 成立.
(2) 对称性: 如果 A∼B ,那么 B∼A .
如果 A∼B ,那么存在可逆矩阵 P ,使得 B=P−1AP . 设 Q=P−1 ,则有 A=PBP−1=Q−1BQ ,所以 B∼A 成立. 有了对称性质,我们可以称 A,B 相似.
(3) 传递性: 如果 A∼B,B∼C ,那么 A∼C .
由 A∼B,B∼C 知,存在可逆矩阵 P,Q ,使得 B=P−1AP,C= Q−1BQ . 这样,存在可逆矩阵 PQ ,使得 C=Q−1(P−1AP)Q=(PQ)−1A(PQ) , 于是 A∼C 成立.
Link to original
性质 2.1 (相似不变量)
是不是每一个矩阵都如同 例子 快速计算矩阵的幂 提到的矩阵 (1−124) 一样和某一个对角矩阵相似呢?
有了相似矩阵的定义及性质我们就可以研究矩阵可对角化的条件了.
为方便起见,我们常将对角矩阵 Λ 记作 diag(a1,a2,⋯,an), 其中 a1,a2,⋯, an 是 Λ 的主对角元素. 有时也可以将其直接简记为 Λ.
定义 2.2. 可对角化设 A 为 n 阶方阵. 若存在一个可逆矩阵 P 和一个对角矩阵 Λ , 使得
P−1AP=Λ
则称 A 是可以对角化的矩阵,简称可对角化,并称矩阵 P 对角化 A .
Link to original
定理 2.1. 可对角化的充要条件
可对角化的两个充分条件
推论 2.1
推论 2.2
值得一提的是, 上述两个推论的条件都充分而不必要.
反例很容易找到,
Example
单位矩阵 E=diag(1,1,⋯,1),其特征多项式有 n 重根,且只有唯一的特征值 λ=1,但 En 本身已对角化.
利用上一节特征值、特征向量的求法及上面的定理和推论即可判断一个 n 阶矩阵 A 是不是可以对角化.
我们只需将求得的线性无关的特征向量合并起来组成一个向量组,
如果向量组中向量的个数为 n, 那么 A 可对角化;
如果向量组中向量的个数小于 n, 那么 A 不可对角化.
当 A 可对角化时, 将所求得的 n 个线性无关的特征向量作为列向量构成矩阵 P, 则 P 就是一个可以对角化 A 的可逆矩阵, 满足 P−1AP=diag(λ1,λ2,⋯,λn).
Example
以上节的 例题 1.1 为例, 矩阵 A=−3−17415001 的特征值为 1,−1.
属于 1 的全部特征向量是
k1001(k1为任意非零常数)
属于 -1 的全部特征向量是
k242−19(k2为任意非零常数).
由于线性无关的特征向量的个数小于 3, 故 A 不可对角化.
例题 2.1.
例题 2.2.